Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：交x轴、y轴于A、B两点，点M（m，n）是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点．
（1）求点C的坐标；
（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A′C′M．
①当BM=AM时，连接A′C、AC′，若过原点O的直线l₂将四边形A′CAC′分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
②过点A′作A′H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A′、H、C、M构成的四边形为梯形？

Answer

（1）根据线段OA的三等分点确定点C的坐标即可；
（2）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用相似三角形的性质得到点N的坐标，利用平行线的性质及平行四边形的对称性确定点M的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
②根据点C1的坐标，分点H在C点左侧和点H在C点右侧两种情况并利用四边形A'C1HM是梯形求得点M的坐标即可．
（1）根据题意：A（6，0），B（0，）
∵C是线段OA的三等分点
∴C（2，0）或C（4，0）

（2）①如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
则△BMN∽△BAO
∵BM=AM
∴BM=BA
∴BN=BO
∴N（0，）
∵点M在直线上
∴M（2，）
∵△A'C'M是由△ACM绕点M旋转180°得到的
∴A'C'∥AC
∴无论是C1、C2点，四边形A'CAC'是平行四边形且M为对称中心
∴所求的直线l2必过点M（2，）
∴直线l2的解析式为：
②当C1（2，0）时，
第一种情况：H在C点左侧
若四边形A'HC1M是梯形
∵A'M与HC1不平行
∴A'H∥MC1此时M（2，）
第二种情况：H在C点右侧
若四边形A'C1HM是梯形
∵A'M与C1H不平行
∴A'C1∥HM
∵M是线段AA'的中点
∴H是线段AC1的中点
∴H（4，0）
由OA=6，OB=
∴∠OAB=60°
∴点M的横坐标为5
∴M（5，）
当C2（4，0）时，同理可得
第一种情况：H在C2点左侧时，M（4，）
第二种情况：H在C2点右侧时，M（，）
综上所述，所求M点的坐标为：M（2，），M（5，），M（4，）或M（，）．