Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为    ．（结果保留根号的形式）

Answer

根据题意作图，题中指出两条对角线所夹锐角为60°而没有指明是哪个角，所以做题时要分两种情况进行分析，从而得到最后答案．
【解析】
已知梯形的上下底的和是4，设AB+CD=4，
对角线AC与BD交于点O，经过点C作对角线BD的平行线CE交AB的延长线于点E．
（1）当∠DOC=60度时，∠ACE=60°，△ACE是等边三角形，边长AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×=2；
因而面积是×4×2=4；
（2）当∠BOC=60度时，∠AOB=180°-60°=120°，又BD∥CE，∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底边AE=4，
因而∠CEA==30°，作CF⊥AE，则AF=FE=2，CF=2×tan30°=，
则△ACE的面积是×4×=．
而△ACE的面积等于梯形ABCD的面积．
因而等腰梯形的面积为4或．