Question

如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC=，则图中阴影部分的面积是    ．

Answer

连接OT、OD、过O作OM⊥AD于M，得到矩形OMCT，求出OM，求出∠OAM，求出∠AOT，求出OT∥AC，得出PC是圆的切线，得出等边三角形AOD，求出∠AOD，求出∠DOT，求出∠DTC=∠CAT=30°，求出DC，求出梯形OTCD的面积和扇形OTD的面积．相减即可求出答案．
【解析】
连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，
∵OA=OT，AT平分∠BAC，
∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PC⊥AC，
∴OT⊥PC，
∵OT为半径，
∴PC是⊙O的切线，
∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，
∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°，
∴四边形OMCT是矩形，
∴OM=TC=，
∵OA=2，
∴sin∠OAM=，
∴∠OAM=60°，
∴∠AOM=30°
∵AC∥OT，
∴∠AOT=180°-∠OAM=120°，
∵∠OAM=60°，OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠TOD=120°-60°=60°，
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC=∠CAT=∠BAC=30°，
∴tan30°=，
∴DC=1，
∴阴影部分的面积是S梯形OTCD-S扇形OTD=×（2+1）×-=．
故答案为：．