Question

如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、点C，若点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=．
（1）若点P是⊙A上的动点，求P到直线BC的最小距离，并求此时点P的坐标；
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿着线路OB-BC-CO运动，回到点O停止运动，⊙A随着点A的运动而移动．
①求⊙A在整个运动过程中所扫过的面积；
②在⊙A整个运动过程中，⊙A与△OBC的三边相切有______种不同的情况，分别写出不同情况下，运动时间t的取值______．

Answer

（1）利用点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=，即可得出C点坐标，进而利用△OPH∽△CBO，求出P点坐标即可；
（2）①利用⊙A在整个运动过程中所扫过的面积=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，求出即可；
②利用相似三角形的判定与性质得出t的值即可，注意利用数形结合得出．
【解析】
（1）∵点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=，
∴=，
∴=，
∴AC=8，
故C点坐标为：C（0，8），
∴BC=10，
过O作OG⊥BC于G，
则OG与⊙A的交点即为所求点P．
过P作PH⊥x轴于H，
∵PH⊥AB，
∴∠OHP=90°，
∵∠POH+∠COP=90°，∠POC+∠OCG=90°，
∴∠POH=∠OCG，
又∵∠COB=90°，
∴△OPH∽△CBO，
∴===，
可得，
∴；

（2）①如图2所示：当圆分别在O，B，C位置时，作出公切线DR，YH，FG，PW，切点分别为：D，R，H，G，F，P，W
连接CD，CF，BG，过点K作KX⊥BC于点X，PW交BC于点U，
∵PU∥OB，
∴∠OBC=∠KUX，
∵∠KXU=∠COB=90°，
∴△COB∽△KXU，
∵KX=1，BC==10，
∴=，
∴=，
解得：KU=，
∵PU∥BO，
∴△CPU∽△COB，
∴=，
∴=，
解得：PU=，
则SK=--1=3，
同理可得出：△LSK∽△COB，
∴=，
∴=，
解得：LS=4，
则∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°，
故⊙A在整个运动过程中所扫过的面积
=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，
=1×8+1×6+1×10+×6×8+π-×3×4
=42+π；

②如图3所示：⊙A与△OBC的三边相切有6种不同的情况，
 当⊙O2与BC相切于点N，
则O2N⊥BC，
∵∠OBC=∠O2BN，∠O2NB=∠COB=90°，
∴△O2NB∽△COB，
∴=，
∴=，
解得：O2B=，
则OO2=6-=，则t的值为：秒，
同理可得出：O3，O4，O5的位置，即可得出时间t的值，
故t=1、、、、、23．
故答案为：6； 1、、、、、23．