Question

已知：抛物线y=x²+（m-1）x+m-2与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜1＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）记抛物线与y轴的交点为C，P（x₃，m）是线段BC上的点，过点P的直线与抛物线交于点Q（x₄，y₄），若四边形POCQ是平行四边形，求抛物线所对应的函数关系式．

Answer

（1）利用抛物线开口向上，当x=1时，y＜0，进而求出m的取值范围即可；也可利用求根公式以及根的判别式求出即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，进而求出P，Q点横坐标，再利用平行四边形的性质求出CO=PQ，进而求出m的值，得出抛物线所对应的函数关系式即可．
【解析】
（1）解法一：∵抛物线开口向上，当x=1时，y＜0，
即：1+（m-1）+（m-2）＜0，
解得：m＜1，
则m的取值范围是m＜1；
解法二：∵△=（m-1）2-4（m-2）=（m-3）2，
由求根公式可得：x1=-1，x2=2-m，
∵x1＜1＜x2，
∴2-m＞1，
解得：m＜1，
∴m的取值范围是m＜1；

（2）解法一：由（1）可得B点坐标为：（2-m，0），C点坐标为：（0，m-2），
代入y=kx+b，得：
，
解得：，
故直线BC所对应的函数关系式为：y=x+m-2，
以P（x3，m）代入求得：m=x3+m-2，
解得：x3=2，
∵四边形POCQ是平行四边形，∴PQ⊥x轴，
∴x4=2，
y4=4+2（m-1）+m-2=3m，
PQ=OC=m-y4=m-3m=-2m=2-m，
解得：m=-2，
可得抛物线所对应的函数解析式为：y=x2-3x-4，
解法二：直线BC所对应的函数解析式为y=x+m-2，
以P（x3，m）代入求得：x3=2，
求出OP方程：y=x，
∵CQ∥OP，可求出CQ方程：y=x+m-2，
+m-2=x2+（m-1）x+m-2，
解得：x4=1-，
由1-=x3=2，
解得：m=-2，
可得抛物线所对应的函数解析式为：y=x2-3x-4．