Question

在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，顺时针旋转正方形EFGH，如图所示．小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论．下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：
①ME=MA；
②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；
③∠MON保持45°不变；
④△EMN的面积S随着旋转角度∠AOE的变化而变化．当旋转角∠AOE为45°时△ENN的面积S取得最大值．
请你对这四个猜想作出判断，把正确的猜想序号写在横线上    ．

Answer

根据正方形的性质和旋转的性质可知，∠OAE=∠OEA，∠MAO=∠MEO=45°，则∠MAE=∠MEA，所以ME=MA；∠MOE+∠NOE=∠AOD=×90°=45°，即∠MON保持45°不变．并且当∠AOE=45°时，△EMN的面积S取得最大值．
【解析】
猜想①正确．理由如下：
如图1，连接OA、OE、AE，
由已知得：OA=OE，
则∠OAE=∠OEA，
∵∠OAM=∠OEM=45°，
∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM，
即∠MAE=∠MEA，
∴ME=MA．
故猜想①正确；

猜想②错误．理由如下：
设正方形纸片ABCD的面积为S1，两张正方形纸片的重叠部分的面积为S2．
当两个正方形纸片ABCD和EFGH重合时，两张正方形纸片的重叠部分的面积为S2=S1．当正方形EFGH旋转到如图1所示的位置时，两张正方形纸片的重叠部分的面积S2＜S1．即两张正方形纸片的重叠部分的面积不是定值．
故猜想②错误；

猜想③正确．理由如下：
如图2，连接OA、OE、AE、OD、ED．
证明：OM平分∠EOA，
同理ON平分∠DOE，
∴∠MOE+∠NOE=∠AOD=×90°=45°，即∠MON保持45°不变．
故猜想③正确；

猜想④正确．理由如下：如图3，
S△EMN=EM•EN≤×，当且仅当EM=EN时，取“=”，
即当EM=EN时，S△EMN取最大值．
此时∠EMN=∠ENM，则OE⊥MN，故∠AOE=45°．
故猜想④正确；
综上所述，猜想正确的有①③④．
故答案是：①③④．