Question

如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP²+BP•PC的值为    ；若BC边上有100个不同的点P₁，P₂，…，P₁₀₀，记m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…，100），则m₁+m₂+…+m₁₀₀的值为    ．

Answer

第一个空可通过构建直角三角形利用勾股定理和等腰直角三角形的性质证明∴AB2=AP2+BP•PC即可；
第二个空可作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD-BPi）2=AD2+BD2-2BD•BPi+BPi2，PiB•PiC=PiB•（BC-PiB）=2BD•BPi-BPi2，从而求得Mi=AD2+BD2，即可求解．
【解析】
过A作AF⊥BC于F．
在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2；
在Rt△APF中，AF2=AP2-FP2；
∴AB2-BF2=AP2-FP2；
即AB2=AP2+BF2-FP2=AP2+（BF+FP）（BF-FP）；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC；
∴BF-FP=CF-FP=PC；
∴AB2=AP2+BP•PC=4，
故答案为：4；
作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．
根据勾股定理，得
APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD-BPi）2=AD2+BD2-2BD•BPi+BPi2，
又PiB•PiC=PiB•（BC-PiB）=2BD•BPi-BPi2，
∴Mi=AD2+BD2=AB2=4，
∴M1+M2+…+M100=4×100=400．
故答案为：400．