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在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(-1,0),点C的坐标...

在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(-1,0),点C的坐标为(3,0),点M是△ABC外接圆的圆心.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)设抛物线的顶点为D,Q是直线CD上一动点,请直接写出以A、D、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时的点Q的坐标;
(3)在抛物线上找求点P,使△PAB的面积与△MCD的面积之比为2:3,并求出点P的坐标.

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(1)设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把A、B、C三点的坐标代入即可求出a、b、c的值,进而求出抛物线的解析式;由于三角形外心的定义可知M点必在线段BC的垂直平分线上,且到线段A、B两端的距离相等,故可得出点M所在线段的解析式,设出点M的坐标,由AM=BM即可得出结论; (2)先利用待定系数法求出直线CD及AM的解析式,判断出两直线的位置关系,设出Q点的坐标,利用两点间的距离公式即可得出Q点的坐标; (3)先求出△MCD的面积,△PAB的面积与△MCD的面积之比为2:3,可求出△PAB的面积,利用两点间的距离公式求出AB的长,故可得出点P到直线AB的距离,再由点P在抛物线上可设出P点坐标,利用点到直线的距离公式即可得出x的值. 【解析】 (1)设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, ∵A(0,3),B(-1,0),C(3,0), ∴, 解得, 故此抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3; ∵点M是△ABC外接圆的圆心,B的坐标为(-1,0),点C的坐标为(3,0), ∴点M所在的直线为x=1, ∴设M(1,y),则AM=BM,即12+(3-y)2=(-1-1)2+y2, 解得y=1, 故M(1,1); (2)如图所示: ∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,点D为此抛物线的顶点, ∴D(1,4), 设过CD两点的直线解析式为y=kx+b, ∵C(3,0)、D(1,4), ∴, 解得, 故直线CD的解析式为y=-2x+6; 同理可得直线AM的解析式为y=-2x+3, 则AM∥CD, ∵点Q在直线CD上, ∴设Q(x,-2x+6), ∵四边形ADMQ是平行四边形, ∴AM=QD,即(x-1)2+(-2x+6-4)2=5, 解得x=0或x=2, ∴Q1(0,6),Q2(2,2); (3)如图2, ∵D(1,4),M(1,1),C(3,0), ∵DM=4-1=3,点C到直线DM的距离为2, ∴S△MCD=×3×2=3, ∵△PAB的面积与△MCD的面积之比为2:3, ∴S△PAB=2, ∵A(0,3),B(-1,0), ∴AB==, 设过点A、B的直线解析式为y=ax+b,则 , 解得, 故过点A、B的直线解析式为y=3x+3, 设点P(x,-x2+2x+3),点P到直线AB的距离等于h,则 AB•h=2,h=2, 解得h=, 则=, 解得x=, 故P()
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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