Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（3，0），点M是△ABC外接圆的圆心．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，Q是直线CD上一动点，请直接写出以A、D、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时的点Q的坐标；
（3）在抛物线上找求点P，使△PAB的面积与△MCD的面积之比为2：3，并求出点P的坐标．

Answer

（1）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入即可求出a、b、c的值，进而求出抛物线的解析式；由于三角形外心的定义可知M点必在线段BC的垂直平分线上，且到线段A、B两端的距离相等，故可得出点M所在线段的解析式，设出点M的坐标，由AM=BM即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线CD及AM的解析式，判断出两直线的位置关系，设出Q点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出Q点的坐标；
（3）先求出△MCD的面积，△PAB的面积与△MCD的面积之比为2：3，可求出△PAB的面积，利用两点间的距离公式求出AB的长，故可得出点P到直线AB的距离，再由点P在抛物线上可设出P点坐标，利用点到直线的距离公式即可得出x的值．
【解析】
（1）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A（0，3），B（-1，0），C（3，0），
∴，
解得，
故此抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
∵点M是△ABC外接圆的圆心，B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（3，0），
∴点M所在的直线为x=1，
∴设M（1，y），则AM=BM，即12+（3-y）2=（-1-1）2+y2，
解得y=1，
故M（1，1）；

（2）如图所示：
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，点D为此抛物线的顶点，
∴D（1，4），
设过CD两点的直线解析式为y=kx+b，
∵C（3，0）、D（1，4），
∴，
解得，
故直线CD的解析式为y=-2x+6；
同理可得直线AM的解析式为y=-2x+3，
则AM∥CD，
∵点Q在直线CD上，
∴设Q（x，-2x+6），
∵四边形ADMQ是平行四边形，
∴AM=QD，即（x-1）2+（-2x+6-4）2=5，
解得x=0或x=2，
∴Q1（0，6），Q2（2，2）；

（3）如图2，
∵D（1，4），M（1，1），C（3，0），
∵DM=4-1=3，点C到直线DM的距离为2，
∴S△MCD=×3×2=3，
∵△PAB的面积与△MCD的面积之比为2：3，
∴S△PAB=2，
∵A（0，3），B（-1，0），
∴AB==，
设过点A、B的直线解析式为y=ax+b，则
，
解得，
故过点A、B的直线解析式为y=3x+3，
设点P（x，-x2+2x+3），点P到直线AB的距离等于h，则
AB•h=2，h=2，
解得h=，
则=，
解得x=，
故P（）