Question

如图，点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（，0），点B在x轴上方且BA⊥x轴，，过点C作CD⊥AB于D，点P是线段OA上一动点，PM∥AB交BC于点M，交CD于点Q，以PM为斜边向右作直角三角形PMN，∠MPN=30°，PN、MN的延长线交直线AB于E、F，设PO的长为x，EF的长为y．
（1）求线段PM的长（用x表示）；
（2）求点N落在直线AB上时x的值；
（3）求PE是线段MF的垂直平分线时直线PE的解析式；
（4）求y与x的函数关系式并写出相应的自变量x取值范围．

Answer

（1）由题意易得四边形OCQP是矩形，则OP=CQ=x，PQ=OC=3，又由平行线分线段成比例定理，可得，则可求得MQ的值，继而求得PM的值；
（2）由∠PNM=90°，∠MPN=30°，可得∠NPA=60°，然后在Rt△NPA中，表示出PN的值，在Rt△PNM中，也可表示出PN，则可得方程2（3-x）=（3+x），解此方程即可求得答案；
（3）首先设点E（3，m），利用三角函数的知识即可求得点E的坐标为：（3，9-x），又由PE是线段MF的垂直平分线，可求得点N的坐标，继而可得方程6-x=3+x，解此方程则可求得点P与E的坐标，再利用待定系数法即可求得此直线的解析式；
（4）由△PNM∽△ENF，根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得EF：PM=AG：GP，继而可求得y与x的函数关系式，由PN、MN的延长线交直线AB于E、F，可得x的取值范围从0开始，到点N在BD上时结束．
【解析】
（1）∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（，0），
∴OC=AD=3，OA=CD=3，
∵CD⊥AB，tanB=，
∴BD==3，
∵PM∥AB，CD⊥AB，BA⊥x轴，
∴四边形OCQP是矩形，
∴OP=CQ=x，PQ=OC=3，
∴，
即，
∴MQ=x，
∴PM=PQ+MQ=3+x；

（2）∵∠PNM=90°，∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
∴在Rt△NPA中，cos∠NPA==，
∴PN=2PA=2（3-x），
在Rt△PNM中，PN=PM•cos∠MPN=PM•cos30°=PM=（3+x），
∴2（3-x）=（3+x），
解得：x=；

（3）设E（3，m），
∵∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
在Rt△EPA中，tan∠EPA===，
∴m=9-x，
∴点E的坐标为：（3，9-x），
∵PE为MF的垂直平分线，PM∥EF，
∴MN：FN=PN：EN，
∴PN=EN，
∴点N的坐标为：（，），
过点N作NG⊥OA于G，
∴PG=-x=，
∴PN=2PG=3-x，
∴PM===6-x，
∴6-x=3+x，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，0），点E的坐标为（3，6），
设直线PE的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线PE的解析式为：y=x-3；

 （4）过N作NG⊥x轴于G，
∵PN=PM•cos∠NPM=PM，
∴NG=PN•sin∠NPM=PN=PM，PG=PN•cos∠NPG=PN=PM，
∴点N横坐标为PM+x，点N的纵坐标为PM，
∵PM∥EF，
∴△PNM∽△ENF，
∴EF：PM=AG：GP，
即，
整理得：y=12-PM-x=12-（3+x）-x=9-x，
x的取值范围为：（0＜x＜）．