连接OA、OB、OD,求出AD,求出CE,根据勾股定理求出BE,根据相交弦定理求出EF,根据垂径定理求出BM,在△BOM中,根据勾股定理求出OM即可.
【解析】
连接OD,OA,OB,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴∠AOD=×360°=90°,
在△AOD中,由勾股定理得:AD===2,
∴CD=AD=BC=2,
∵E是CD中点,
∴DE=CE=1,
在△BCE中由勾股定理得:BE==,
由相交弦定理得:CE×DE=BE×EF,
即1×1=EF,
∴EF=,
∴BF=+=,
∵OM⊥BF,OM过圆心O,
∴BM=FM=BF=,
在△BOM中,由勾股定理得:OB2=OM2+BM2,
即=OM2+,
解得:OM=,
故选D.