Question

在平面直角坐标系xOy中，正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂B₁、A₃B₃C₃B₂，…，按如图所示的方式放置、点A₁、A₂、A₃，…和点B₁、B₂、B₃，…分别在直线y=kx+b和x轴上、已知C₁（1，-1），C₂（，），则点A₃的坐标是    ；点A_n的坐标是    ．

Answer

根据正方形的轴对称性，由C1、C2的坐标可求A1、A2的坐标，将A1、A2的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出OB1，OB2的长，设B2G=A3G=b，表示出A3的坐标，代入直线方程中列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出A3的坐标，依此类推寻找规律，即可求出An的坐标．

【解析】
连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点E、F、G，
∵正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，
∴A1与C1关于x轴对称，A2与C2关于x轴对称，A3与C3关于x轴对称，
∵C1（1，-1），C2（，），
∴A1（1，1），即（5×（）1-1-4，（）1-1），A2（，），即（5×（）2-1-4，（）2-1），
∴OB1=2OE=2，OB2=OB1+B1F=2+2×（-2）=5，
将A1与A2的坐标代入y=kx+b中得：
，
解得：，
∴直线解析式为y=x+，
设B2G=A3G=b，则有A3坐标为（5+b，b），
代入直线解析式得：b=（5+b）+，
解得：b=，
∴A3坐标为（，），即（5×（）3-1-4，（）3-1），
依此类推An（5×（）n-1-4，（）n-1）．
故答案为：（，）；（5×（）n-1-4，（）n-1）．