Question

如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=也经过A点．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为（a，a），因为点A在直线y=3x-4上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．
【解析】
（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a），
∵点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2），
∵双曲线y=也经过A点，
∴k=4；

（2）假设双曲线上存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．
过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，
则△APQ为所求作的等腰直角三角形．
理由：在△AOP与△ABQ中，
∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），
∴Q（4，1），
经检验，在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．