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如图,二次函数y=x2-5x+4的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),顶...

如图,二次函数y=x2-5x+4的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),顶点为C,有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动,过E 作y轴的平行线,交△ABC的边BC或AC于点F,以EF为边在EF右侧作正方形EFGH,设正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S,E点运动时间为t秒.
(1)求顶点C的坐标和直线AC的解析式;
(2)求当点F在AC边上,G在BC边上时t的值;
(3)求动点E从点B向点A运动过程中,S关于t的函数关系.

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(1)把y=x2-5x+4化成顶点式,求出顶点C的坐标,y=x2-5x+4化成(x-1)(x-4),求出A、B的坐标,设AC直线为y=kx+b,把A、C的坐标代入就能求出直线AC的解析式; (2)设直线BC的解析式是y=ax+c,把B、C的坐标代入就能求出直线BC,点E坐标为(4-t,0),点F坐标为(),求出EF=,FG=2t-3,根据EF=FG,即可求出t的值; (3)可分以下几种情况:①点F在BC上时,如图1重叠部分是△BEF2,此时时,点F坐标为(),根据三角形的面积公式即可求出;②I如图2,EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB,此时<t≤,根据三角形的面积公式即可求出;II如图3,EB>EH,点G在BC下方时,重叠部分是五边形EFKMH,此时,,因为S=S正方形EFGH-S△KMG,根据三角形的面积公式即可求出;Ⅲ.如图4,点G在BC上或BC上方时,重叠部分是正方形EFGH,此时≤t<3, 根据正方形的面积公式求出即可. (1)【解析】 ∵y=x2-5x+4=, 顶点C的坐标为(), ∵y=x2-5x+4=(x-1)(x-4), ∴点A(1,0),B(4,0), 设AC直线为y=kx+b,得, 解得:k=-,b=, ∴, 答:顶点C的坐标为(),直线AC的解析式是. (2)【解析】 设直线BC的解析式是y=ax+c, 把B(4,0),C(,-)代入得:0=4a+c且-=a+c, 解得:a=,c=-6, 直线BC的解析式为, 当F在AC边上,G在BC边上时, 点E坐标为(4-t,0),点F坐标为(), 得EF=, 而EF=FG, ∵抛物线的对称轴和等腰△ABC的对称轴重合, ∴FG=, =2t-3, ∴=2t-3, 解得, 答:当点F在AC边上,G在BC边上时t的值是. (3)【解析】 点E坐标为(4-t,0)随着正方形的移动,重叠部分的形状不同,可分以下几种情况: ①点F在BC上时,如图1重叠部分是△BEF, 此时时,点F坐标为(), =, ②点F在AC上时,点F坐标为()又可分三种情况: Ⅰ.如图2,EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB(设FG与直线BC交于点K), 此时<t≤, ∴, Ⅱ.如图3,EB>EH,点G在BC下方时,重叠部分是五边形EFKMH(设FG与直线BC交于点K,GH与直线BC交于点M), 此时,, 点H坐标为(),点M坐标为(), , , , ∴S=SEFGH-S△KMG=()2, =, Ⅲ.如图4,点G在BC上或BC上方时,重叠部分是正方形EFGH,此时≤t<3, ∴=t2-t+, 答:动点E从点B向点A运动过程中,S关于t的函数关系S=t2(0<t≤)或S=-t2+9t-(<t≤)或S=-t2+t-(<t<)或S=t2-t+(≤t<3).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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