Question

如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线ACBD相交于O，∠ACD=6O°，点S，P，Q分别是OD，OA，BC的中点，
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面积；
（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．

Answer

（1）连接SC、PB，根据等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线可判断出答案．
（2）根据等腰梯形的性质及∠AOD=120°可求出等边三角形的边长，从而可得出答案．
（3）设CD=a，AB=b（a＜b），根据题意表示出两面积的比，从而可得出答案．
【解析】
如图，连接SC、PB，
（1）证明：∵ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，
又∵AC、BD相交于O，
∴AO=BO，OC=OD，
∵∠ACD=60°，
∴△OCD和△OAB是等边三角形，
∵S是OD的中点，
∴CS⊥DO，
在RT△BSC中，Q为BC的中点，SQ是斜边BC的中线，
∴SQ=BC．
同理BP⊥AC，在RT△BPC中，PQ=BC，
又SP是△OAD的中位线，
∴SP=SQ=PQ，
∴△SPQ是等边三角形；

（2）∵AB=5，CD=3，
∴可得：CS=，SB=，
∴BC=7，
∴PS=PQ=SQ=，
∴S△PQS=；

（3）设CD=a，AB=b（a＜b），
BC2=SC2+BS2=+=a2+b2+ab，
∴S△SPQ=（a2+ab+b2），
又 ，
∴8×（a2+ab+b2）=7×ab，
即2a2-5ab+2b2=0，
化简得 =，
故=．