Question

如图，一次函数y=x-1图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且BC=2BO，过A，C两点的抛物线交直线AB于点D，且CD∥x轴．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段BD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE的长度的最大值；
（3）在题中的抛物线上是否存在一点M，使得AD²+DM²=AM²？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用直线的解析式求得点A和点B的坐标，然后求得点C的坐标，根据CD平行于x轴，得到点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，然后代入直线的解析式即可求得点D的坐标，最后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）设出点P的横坐标，根据点P在直线上，表示出其纵坐标，根据PE平行于y轴表示出点E的坐标，从而得到有关点P的横坐标的二次函数，求其最大值即可；
（3）设存在点M，然后设出点M的坐标，利用勾股定理将AD、DM、AM表示出来，利用AD2+DM2=AM2列出方程求得点M的横坐标后即可求得其坐标．
【解析】
（1）∵一次函数y=x-1图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为：（0，-1），
∵BC=2BO，
∴点C的坐标为（0，-3），
∵CD∥x轴，
∴点D的纵坐标等于点C的纵坐标，为-3，
∵点D在直线y=x-1上，
∴x-1=-3
解得：x=-2，
∴点D的坐标为（-2，-3）
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵经过A、C、D三点，
∴
解得：a=1，b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3．

（2）∵点P在直线y=x-1上，
∴设点P的坐标为（x，x-1），
∵过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，
∴点E的坐标为（x，x2+2x-3），
∴PE=x-1-（x2+2x-3）=-x2-x+2=-（x-）2+2，
故线段PE的最大值为2；

（3）设存在抛物线上的点M，使得AD2+DM2=AM2，
设点M的坐标为（a，a2+2a-3），
∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（-2，-3）
∴AD2=[1-（-2）]2+32=18
如图，作DF⊥x轴与点F，MG⊥x轴于点G，
∴AM2=AG2+MG2=（1-a）2-（a2+2a-3）2，
DM2=DH2+MH2=（a+2）2-（a2+2a-3+3）2，
∵AD2+DM2=AM2，
∴（1-a）2-（a2+2a-3）2=（a+2）2-（a2+2a-3+3）2+18
解得：a=-1或-2，
当a=-1时，a2+2a-3=-4，
∴此时点M的坐标为（-1，-4）
当a=-2时，a2+2a-3=-3，
此时点M的坐标与点D的坐标相同，
故点M的坐标为：（-1，-4）．