Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是    ．

Answer

首先过点A作AK∥BD，交CB的延长线于K，易证得四边形AKBD是平行四边形，又由四边形ABCD是等腰梯形，根据三线合一与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的知识，即可求得AE=CK，又由AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，可得四边形AEFD是矩形，即可求得DF=AE，EF=AD，则可求得四边形AEFD的周长．
【解析】
过点A作AK∥BD，交CB的延长线于K，
∵AD∥BC，
∴四边形AKBD是平行四边形，
∴AK=BD，BK=AD，AK∥BD，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AK=AC，
∵AC⊥BD，
∴AK⊥AC，
∵AE⊥CK，
∴EK=EC，
∴AE=CK=（BC+BK）=（BC+AD）=×（b+a），
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴DF=AE=×（b+a），
四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=a，
∴四边形AEFD的周长是：AE+EF+DF+AD=×（b+a）+a+×（b+a）+a=3a+b．
故答案为：3a+b．