Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
（1）在此运动变化的过程中，△DFE是______三角形；
（2）若AD=，求△DFE的面积．

Answer

（1）连接CF，证△ADF≌△CEF，推出EF=DF，∠CFE=∠AFD，即可求出答案；
（2）求出四边形CDFE的面积等于△AFC的面积，求出△AFC的面积即可．
（1）【解析】
△DEF是等腰直角三角形，
理由是：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，F为AB中点，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵在△ADF和△CEF中
，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．

②【解析】
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CEFD=S△AFC，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，由勾股定理得：AB=16，
∴AF=CF=AB=8，
∴S四边形CEFD=S△AFC=×8×8=32，
∴△DFE的面积S=S四边形CEFD-S三角形DCE=32-×8×=25．