Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点M到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、P两点，OP=4；
（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；
（2）设点A是抛物线上位于O、M之间的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长l；
②试问矩形ABCD的周长l是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）连接OM、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点P外），使得△OMQ也是等腰三角形，简要说明你的理由（不必求出点Q的坐标）．

Answer

（1）根据OP的长度即可得到点P的坐标，再根据抛物线的对称性可得点M的横坐标，然后即可得到点M的坐标，设抛物线顶点式解析式是y=a（x-2）2-4，把点P的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）①根据抛物线的对称性求出OB的长度，即点A的横坐标，然后代入抛物线解析式求出点A的纵坐标，从而得到AB的长度，再利用矩形的周长公式列式计算即可得解；
②设点A的坐标为（x，y），根据抛物线的解析式表示出AB的长，再根据矩形的周长公式列式得到l与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答即可；
（3）从线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和圆的半径相等考虑解答．
【解析】
（1）∵OP=4，
∴OP=×4=2，
∴点P的坐标为（4，0），点M的坐标为（2，-4），
设抛物线的解析式是y=a（x-2）2-4，把P（4，0）代入得，
a（4-2）2-4=0，
解得a=1，
所以，抛物线的解析式是y=（x-2）2-4=x2-4x，
即y=x2-4x；

（2）①∵点B和点C关于抛物线的对称轴直线x=2对称，
∴OB==，
把x=代入y=x2-4x得，y=（）2-4×=-，
∴点A的坐标为（，-），
∴AB=|-|=，
∴矩形ABCD的周长l=2（1+）=；

②设点A的坐标为（x，y），其中0＜x＜2，
则AD=BC=4-2x，AB=DC=|y|=|x2-4x|=4x-x2，
则矩形ABCD的周长l=2（AD+AB）=2（4-2x+4x-x2）=-2x2+4x+8=-2（x-1）2+10，
则当x=1时，l最大值=10，
此时点A的坐标为（1，-3）；

（3）答：存在．
理由：作OM的中垂线一定能与抛物线相交，或以点O为圆心以OM为半径画弧能与抛物线相交，
交点即是所要找的Q点的位置．