Question

如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：
①=90°；②DO∥AB； ③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤．
正确的有（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer

根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，由圆周角∠ACB等于45°得到圆心角∠BOD为90°，进而得到=90°，故选项①正确，又OD=OB，所以三角形BOD为等腰直角三角形，由∠A和∠ACB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数为75°，由AB与圆切线，根据切线的性质得到∠OBA为直角，用∠ABO的度数减去∠ABC的度数求出∠CBO的度数，由根据∠BOE为直角，求出∠OEB为75°，根据内错角相等，得到OD与AB平行，故选项②正确，又三角形OBD为等腰三角形，故∠ODB为45°，又∠ACB为45°，等量代换得到两个角相等，又∠CBD为公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BED与三角形BCD相似，由相似得比例，由BD为OD的倍，等量代换即可得到BE等于DE的倍，故选项⑤正确，而选项③不一定成立．
【解析】
∵圆心角∠BOD与圆周角∠ACB都对，且∠ACB=45°，
∴∠BOD=2∠ACB=90°，
∴=90°，故选项①正确；
∵∠A=60°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=180°-60°-45°=75°，
又∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∴∠OBE=∠OBA-∠ABC=90°-75°=15°，又∠BOD=90°，
∴∠OEB=180°-∠BOD-∠OBE=180°-90°-15°=75°，
∴∠ABC=∠OEB，
∴DO∥AB，故选项②正确；
∵D不一定为AC中点，即CD不一定等于AD，
故选项③不一定成立；
∵OB=OD，∠BOD=90°，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠ODB=∠ACB，
又∵∠DBE=∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，故选项④正确；
连接OC，∵OD∥AB，
∴∠CDO=∠A=60°，又OC=OD，
∴△CDO为等边三角形，
∴OC=OD=CD，
∵△BDE∽△BCD，
∴，
又∵OBD为等腰直角三角形，
∴BD=OD=CD，
∴EB=DE，即=，选项⑤正确，
综上，正确的结论有4个．
故选C