Question

如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF²=PB•EF；③PF•EF=2AD²；④EF•EP=4AO•PO．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．③④

Answer

由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，就可以求出∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．
【解析】
设AD=x，AB=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB，
∴BC=x，CD=2x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=x，BP=x．
∵E为DC的中点，
∴CE=CD=x，
∴tan∠CEP===，tan∠EBC==，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∴∠CEB=60°，
∴∠PEB=30°，
∴∠CEP=∠PEB，
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴，
∴BE．BF=BP．EF．
∵∠F=BEF，
∴BE=BF，
∴②BF2=PB•EF．故②正确；
∵∠F=30°，
∴PF=2PB=x，
过点E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°，
∴EF=2EG=2x，
∴PF•EF=x•2x=8x2，
2AD2=2×（）2=6，
∵6≠8，
∴PF•EF≠2AD2，故本答案错误；
在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC=x．
∵tan∠PAB==，
∴∠PAB=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO=x，PO=x，
∴EF•EP=2x•x=4x2
4AO•PO=4×xx=4x2．
∴EF•EP=4AO•PO．故④正确．
故选B．