Question

已知：正方形ABCD的边长为2，△EFG为等腰直角三角形，∠EGF=90°．
（1）如图1，当点G与点D重合，点E在正方形ABCD的对角线AC上时．求AE+AF的值；
（2）如图2，当点G与点D重合，点E在线段CA的延长线上时．通过观察、计算，你能发现AF与AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点G在线段DA的延长线上时，设AG=x．则线段AE、AF与x有怎样的数量关系，请说明理由．

Answer

（1）当点G与点D重合，点E在正方形ABCD的对角线AC上时，AE+AF=2，首先利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明△FDA≌△EDC，由全等的性质得到AF=EC，
再利用勾股定理求出AC=2，所以AE+AF=AE+EC=AC=；
（2）当点G与点D重合，点E在线段CA的延长线上时，AF-AE=，首先利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明△FDA≌△EDC，由全等的性质得到AF=EC，∴AF-AE=EC-AE=AC=；
（3）当点G在线段DA的延长线上时，设AG=x，AE-AF=，过点G作GH⊥AG，交AE于点H，利用已知条件首先证明△FGA≌△EGH，所以AE-AF=AE-EH=AH，在Rt△GAH中，根据勾股定理得到AH=，所以AE-AF=．
【解析】
（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵△GEF为等腰直角三角形，
∴GF=GE，∠EGF=90°，
∴∠FDA=∠CDE，
∴△FDA≌△EDC（SAS） 
∴AF=EC，
∵根据勾股定理：AC=
∴AE+AF=AE+EC=AC=；
（2）AF-AE=，
∵四边形ABCD为正方形
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵△GEF为等腰直角三角形，
∴GF=GE，∠EGF=90°，
∴∠FDA=∠CDE，
∴△FDA≌△EDC（SAS），
∴AF=EC
∴AF-AE=EC-AE=AC=；
（3）AE-AF=，
过点G作GH⊥AG，交AE于点H，
∴∠HGA=90°，
∵AC为正方形对角线，
∴∠GAE=45°
∴△GAH为等腰直角三角形，
∴HG=AG，
又∵GF=GE，∠EGF=90°，
∴∠EGH=∠FGA，
∴△FGA≌△EGH（SAS），
∴EH=AF，
∴AE-AF=AE-EH=AH，
在Rt△GAH中，根据勾股定理：
∴AH=，
∴AE-AF=．