Question

已知二次函数y=ax²+bx-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a、b的值；
（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

Answer

（1）根据抛物线图象经过点A以及“当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．
（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t 表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三种情况讨论：
1、点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
2、点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
3、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
1、当点E在点A与线段AB中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
2、当点E在线段AB中点与点O之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；
3、当点E在线段OB上时，重叠部分是个小直角三角形．
【解析】
（1）由题意得
解得：a=，b=-．

（2）①由（1）知二次函数为y=x2-x-2
∵A（4，0），∴B（-1，0），C（0，-2）
∴OA=4，OB=1，OC=2
∴AB=5，AC=2，BC=
∴AC2+BC2=25=AB2
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°
∵AE=2t，AF=t，∴==
又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB
∴∠AEF=∠ACB=90°
∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；
由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=AE=t
假设△DCF为直角三角形
当点F在线段AC上时
ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2
∴AE=AB=
t=÷2=；
ⅱ）若D为直角顶点，如图3
∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC
∵OC⊥BD，∴OD=OB=1
∴AD=3，∴AE=
∴t=；
当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=或t=．
②ⅰ）当0＜t≤时，重叠部分为△DEF，如图1、图2
∴S=×2t×t=t2；
ⅱ）当＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4
过点G作GH⊥BE于H，设GH=x
则BH=，DH=2x，∴DB=
∵DB=AD-AB=4t-5
∴=4t-5，∴x=（4t-5）
∴S=S△DEF-S△DBG=×2t×t-（4t-5）×（4t-5）=-t2+t-；
ⅲ）当2＜t≤时，重叠部分为△BEG，如图5
∵BE=DE-DB=2t-（4t-5）=5-2t，GE=2BE=2（5-2t）
∴S=×（5-2t）×2（5-2t）=4t2-20t+25．