Question

如图，已知⊙O的弦AB等于半径，连接OB并延长使BC=OB．
（1）∠ABC=______．
（2）AC与⊙O有什么关系？请证明你的结论；
（3）在⊙O上，是否存在点D，使得AD=AC？若存在，请画出图形，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）易证△ABO是等边三角形，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）AC是⊙O的切线．△OAB为等边三角形，则∠OAB=60°，然后根据等腰三角形的性质：等边对等角，即可求得∠BAC的度数，从而求得∠OAC=90°，从而证得AC是⊙O的切线；
（3）延长BO交⊙O于点D，即为所求的点，利用ASA证明：△CAO≌△DAB即可证得．
【解析】
（1）120°；

（2）AC是⊙O的切线；
证明：∵AB=OB=OA，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OBA=∠AOB=60°．OA=OB=BA，
∵BC=BO，
∴BC=BA，
∴∠C=∠CAB，
又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C，
即2∠C=60°，
∴∠C=30°
在△OAC中，∵∠O+∠C=60°+30°=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（3）存在．
如图2，延长BO交⊙O于点D，即为所求的点．
证明如下：
连接AD，∵BD为直径，∴∠DAB=90°．
在△CAO和△DAB中，
∵，
∴△CAO≌△DAB（ASA），
∴AC=AD．