Question

如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的角平分线交DC于点E，点P、Q分别是边AD和AE上的动点（两动点不重合）．
（1）PQ+DQ的最小值是______

Answer

（1）过点D作DF⊥AC，垂足为F，则DF即为PQ+DQ的最小值，在直角△ADF中利用正弦三角函数即可求解；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，DF与AE的交点即为点Q，过点Q作QP⊥AD，垂足即为点P；
（3）首先证明PQ+DQ=DF，然后分两种情况证明（2）中的PQ+DQ为最小值：在AE上取异于Q的另一点Q1．①过Q1点作Q1F1⊥AC于点F1，根据垂线段最短证明P1Q1+DQ1＞PQ+DQ；②若P2是AD上异于P1的任一点，根据垂线段最短得出P2Q1+DQ1＞P1Q1+DQ1＞PQ+DQ．
【解析】
（1）过点D作DF⊥AC，垂足为F，则DF即为PQ+DQ的最小值．
∵正方形ABCD的边长是4，
∴AD=4，∠DAC=45°，
在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，
∴DF=AD•sin45°=4×=．
故答案为；

（2）如图1，过点D作DF⊥AC，垂足为F，DF与AE的交点即为点Q，过点Q作QP⊥AD，垂足即为点P；

（3）∵AE平分∠DAC，Q为AE上的点，且QF⊥AC于点F，QP⊥AD于点P，
∴QP=QF（角平分线性质定理），
∴PQ+DQ=FQ+DQ=DF=．
下面证明此时的PQ+DQ为最小值：
在AE上取异于Q的另一点Q1，如图2．
①过Q1点作Q1F1⊥AC于点F1，
过Q1点作Q1P1⊥AD于点P1，
则P1Q1+DQ1=F1Q1+DQ1，
由垂线段最短，可得F1Q1+DQ1＞FQ+DQ，
即P1Q1+DQ1＞PQ+DQ；
②若P2是AD上异于P1的任一点，
可知斜线段P2Q1＞垂线段P1Q1，
∴P2Q1+DQ1＞P1Q1+DQ1＞PQ+DQ．
从而可得此处PQ+DQ的值最小．