Question

已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．
（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=______．
（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，
从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是______．

Answer

（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再利用三角形中位线的性质得出EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，进而求出即可；
（2）①利用轴对称图形的性质得出答案即可；
②利用两点之间线段最短以及三角形三边关系得出m的取值范围即可．
【解析】
（1）如图2，连接AC，BD，
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AC=BD==10，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点，
∴EH，EF，FG，HG，分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，
∴m=EF+FG+GH+HE=AC+BD=10+10=20；   

（2）①如图3所示（虚线可以不画），

②由图形可知，四边形的周长即折线HM的长，由两点之间线段最短可知，折线HM≥20，即周长不小于20；                  
又由题可知，四边形周长小于矩形ABCD的周长，即周长小于28，
故20≤m＜28．
故答案为：20；20≤m＜28．