满分5 > 初中数学试题 >

如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是B...

如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.
(1)求证:△MDC是等边三角形;
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值?如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.

manfen5.com 满分网
(1)过点D作DP⊥BC于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,得到CP=BQ=AB,CP+BQ=AB=1,得出BC=2CD,由点M是BC的中点,推出CM=CD,由∠C=60°,根据等边三角形的判定即可得到答案; (2)△AEF的周长存在最小值,理由是连接AM,由ABMD是菱形,得出△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,推出∠BME=∠AMF,证出△BME≌△AMF(ASA),得出BE=AF,ME=MF,推出△EMF是等边三角形,根据MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是,即可求出△AEF的周长. (1)证明:连接AM,过点D作DP⊥BC于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q, 即AQ∥DP, ∵AD∥BC, ∴四边形ADPQ是平行四边形, ∴AD=QP=AB=CD, ∵∠C=∠B=60°, ∴∠BAQ=∠CDP=30°, ∴CP=BQ=AB=1, 即BC=1+1+2=4, ∵CD=2, ∴BC=2CD, ∵点M是BC的中点, BC=2CM, ∴CD=CM, ∵∠C=60°, ∴△MDC是等边三角形. (2)【解析】 △AEF的周长存在最小值,理由如下: 过D作DN⊥BC于N,连接AM, ∵∠C=60°, ∴∠CDN=30°, ∵CD=2, ∴CN=1, ∴由勾股定理得:DN=, 连接AM,由(1)平行四边形ABMD是菱形, △MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形, ∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°, ∴∠BME=∠AMF, 在△BME与△AMF中, , ∴△BME≌△AMF(ASA), ∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB, ∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形,EF=MF, ∵MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长,即是,即EF的最小值是, △AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF, △AEF的周长的最小值为2+, 答:存在,△AEF的周长的最小值为2+.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元,设第二个月单价降低x元.
(1)填表:(不需化简)
时间  第一个月第二个月 清仓时 
 单价(元) 80  40
 销售量(件) 200  
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?
查看答案
在烟台市举办的“读好书、讲礼仪”活动中,东华学校积极行动,各班图书角的新书、好书不断增多,除学校购买外,还有师生捐献的图书,下面是七年级(1)班全体同学捐献图书的情况统计图:
manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
请你根据以上统计图中的信息,解答下列问题:
(1)该班有学生多少人?
(2)补全条形统计图;
(3)七(1)班全体同学所卷图书的中位数和众数分别是多少?
查看答案
先化简:manfen5.com 满分网;若结果等于manfen5.com 满分网,求出相应x的值.
查看答案
如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.

manfen5.com 满分网 查看答案
已知:如图,A点坐标为manfen5.com 满分网,B点坐标为(0,3).
(1)求过A,B两点的直线解析式;
(2)过B点作直线BP与x轴交于点P,且使OP=2OA,求△ABP的面积.

manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.