Question

已知一元二次方程x²+ax+a-2=0．
（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a＜0，当二次函数y=x²+ax+a-2的图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为？若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．

Answer

（1）由△=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，即可判定不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）首先设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1•x2=a-2，由两交点的距离是，可得：（x1-x2）2=13，即可得（x1+x2）2-4x1•x2=13，继而求得a的值；
（3）首先设点P的坐标为（x，y），由AB=，△PAB的面积为，即可求得y的值，继而求得P点坐标．
（1）证明：∵△=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，
∴不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）【解析】
设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1•x2=a-2，
∵两交点的距离是，
∴|x1-x2|==．
即：（x1-x2）2=13，
变形为：（x1+x2）2-4x1•x2=13，
∴（-a）2-4（a-2）=13，
整理得：（a-5）（a+1）=0，
解方程得：a=5或-1，
又∵a＜0，
∴a=-1，
∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3．

（3）【解析】
设点P的坐标为（x，y），
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，
∴AB=，
∴S△PAB=AB•|y|=，
∴=
即：|y|=3，
解得：y=±3，
当y=3时，x2-x-3=3，即（x-3）（x+2）=0，
解此方程得：x=-2或3，
当y=-3时，x2-x-3=-3，即x（x-1）=0，
解此方程得：x=0或1，
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3）或（3，3）或（0，-3）或（1，-3）．