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如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在...

如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=manfen5.com 满分网x2+bx+c经过点A、B.
(1)求抛物线的表达式.
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC以1cm/s的速度向点C移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
①移动开始后,是否存在某一时刻t,使得以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似,若存在,请求出此时t的值,若不存在,请说明理由.
②移动开始后第t秒时,设S=PQ2(cm2),当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)若此抛物线上有一点D(3,manfen5.com 满分网),在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.

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(1)根据正方形的四条边都相等写出点A、B的坐标,然后代入抛物线解析式得到关于b、c的方程组,解方程组求出b、c的值即可得解; (2)表示出AP、BP、BQ的长,①然后分(i)OA与BP是对应边,(ii)OA与BQ是对应边两种情况,根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可; ②根据勾股定理表示出S,然后利用二次函数的最值问题确定出S取最小值时的t值,然后求出BP、BQ的值,再分(i)BP为对角线,(ii)BQ为对角线两种情况,根据平行四边形的对边平行且相等求出点R的坐标,然后把点R的坐标代入抛物线,如果点R在抛物线上则,存在,否则不存在; (3)根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出当点M为抛物线对称轴与直线AD的交点时,M到D、A的距离之差最大,然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AD的解析式,再求两直线的交点即可. 【解析】 (1)∵正方形OABC的边长为2cm, ∴点A(0,-2),B(2,-2), ∴, 解得, ∴抛物线的表达式为y=x2-x-2; (2)移动t秒时,AP=2t,BP=2-2t,BQ=t, ①(i)OA与BP是对应边时,∵以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似, ∴=, 即=, 解得t=, (ii)OA与BQ是对应边时,∵以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似, ∴=, 即=, 解得t=-1+,t=-1-(舍去), 综上所述,当t=或-1+时,以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似; ②根据勾股定理,S=PQ2=BP2+BQ2=(2-2t)2+t2=5t2-8t+4, 所以,当t=-=时,S有最小值, 此时BP=2-2t=2-2×=,BQ=t=, (i)当BP为对角线时,根据平行四边形的对边平行且相等, 点R的横坐标为2t=, 纵坐标为-(2+)=-, 此时,×()2-×-2=--2=-≠-, 点R不在抛物线上,所以,此时不成立, (ii)BQ为对角线时,根据平行四边形的对边平行且相等, 点R的横坐标为2+=, 纵坐标为-(2-)=-, 此时,×()2-×-2=-4-2=-, 点R在抛物线上, 所以,点R的坐标为(,-); (3)根据三角形三边关系,|MA-MD|<DA, 所以,当点M为直线AD与对称轴交点时,M到D、A的距离之差最大, 此时,设直线AD的解析式为y=kx+b, 则, 解得, 所以,直线AD的解析式为y=x-2, ∵抛物线y=x2-x-2的对称轴为x=-=1, ∴y=×1-2=-, ∴点M的坐标为(1,-).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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