Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=12，AD=8，求BF的长．

Answer

（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求解；
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解．
（1）证明：连接OE，
∵AC是圆的切线，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵O是BD的中点，
∴OE是△BFD的中位线，
∵OE∥BF，
∴∠DEO=∠EFB，
又∵∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠BFD，
∴BD=BF；

（2）设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R  
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，即=，
解得：R1=8，R2=-6（舍去）
∴BF=BD=2R=16．