Question

为发展山区农村经济，县政府鼓励农民结合本地实际开发果树种植．绿杨乡青年张青松种植了20棵苹果树，30棵桃树．按照种果树的经验，每棵苹果树结的果实的利润y₁元与平均每棵苹果树的护理投资x元之间的关系是y₁₌每棵桃树结的果实的利润y₂元与平均每棵桃树的护理投资t元之间的关系是（0≤t≤6）．青年张青松为这50棵果树总共投资240元．
（1）求出张青松种植50棵果树的总利润w元与平均每棵苹果树护理投资x元之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）如何分配这两种果树的投资金额，使得张青松的总利润达到最大值？

Answer

（1）利用绿杨乡青年张青松种植了20棵苹果树，30棵桃树，平均每棵苹果树的护理投资x元，平均每棵桃树的护理投资t元，
得出20x+30t=240，即t=8-x，进而得出y2与x的函数关系式，得出x的取值范围，进而得出w与x之间的关系式；
（2）利用配方法以及二次函数的增减性分别求出最大值即可．
【解析】
（1）∵绿杨乡青年张青松种植了20棵苹果树，30棵桃树，平均每棵苹果树的护理投资x元，平均每棵桃树的护理投资t元，
∴20x+30t=240，∴t=8-x．
则y2与x的关系是：y2=3t+27=-2x+51（3≤x≤12）
y2=45 （x＜3）．
∴当0≤x＜3时，w=20y1+30y2=20[-0.25（x-8）2+36]+30×45=-5x2+80x+1750，
当3≤x≤6时，w=20y1+30y2=20[-0.25（x-8）2+36]+30（-2x+51）=-5x2+20x+1930，
当6＜x≤12时，w=20y1+30y2=20×35+30（-2x+51）=-60x+2230．
即w与x之间的函数关系式是：
W=-5x2+80x+1750（0≤x＜3）
W=-5x2+20x+1930 （3≤x≤6）
W=-60x+2230（6＜x≤12）．

（2）当0≤x＜3时，w=-5x2+80x+1750=-5（x-8）2+2070，
w随x的增大而增大，
∴x＜3时，w＜1945．
当3≤x≤6时，w=-5x2+20x+1930=-5（x-2）2+1950，
w随x的增大而减小，
∴x=3时，wmax=-5+1950=1945．
当6＜x≤12时，w=-60x+2230，-60＜0，
w随x的增大而减小，
∴x＞6时，w＜-60×6+2230=1870．
综上所述，当x=3时，w有最大值，此时t=6．
即：每棵苹果树投资3元，每棵桃树投资6元时，可以使得张青松的总利润达到最大值．