Question

如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
（1）求证：△ABD为等腰三角形．
（2）求证：AC•AF=DF•FE．

Answer

（1）CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；
（2）由在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，得出△CDA∽△FAE，即可推出CD•EF=AC•AF．
证明：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠MCD+∠DCB=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∵CD为∠BCA的外角的平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，
∴∠DCA=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
∴△ABD为等腰三角形．

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF，①
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴即CD•EF=AC•AF，
又由①有AC•AF=DF•EF命题即证．