Question

如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30度．
（1）判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=，求BC的长．

Answer

（1）根据切线的判定定理，连接OD，只需证明OD⊥CD，根据三角形的外角的性质得∠A=30°，再根据等边对等角得∠ADO=∠A，从而证明结论；
（2）在30°的直角三角形OCD中，求得OD，OC的长，则BC=OC-OB．
【解析】
（1）CD是⊙O的切线
证明：连接OD
∵∠ADE=60°，∠C=30°
∴∠A=30°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠A=30°
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°
∴OD⊥CD
∴CD是⊙O的切线；

（2）在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠C=30°，CD=3
∵tanC=
∴OD=CD•tanC=3×=3
∴OC=2OD=6
∵OB=OD=3
∴BC=OC-OB=6-3=3．