Question

已知抛物线C₁：y=x²-2x的图象如图所示，把C₁的图象沿y轴翻折，得到抛物线C₂的图象，抛物线C₁与抛物线C₂的图象合称图象C₃．
（1）求抛物线C₁的顶点A坐标，并画出抛物线C₂的图象；
（2）若直线y=kx+b与抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切．若直线y=x+b与抛物线C₁相切，求b的值；
（3）结合图象回答，当直线y=x+b与图象C₃有两个交点时，b的取值范围．

Answer

（1）用配方法将C1化为顶点坐标式，即可得到它的顶点坐标；由于C2、C1关于y轴对称，那么C2、C1的开口方向和开口大小都相同，而它们的顶点坐标也关于y轴对称，可据此画出C2的图象．
（2）联立直线y=x+b和抛物线C1的解析式，消去y后可得到关于x的一元二次方程，若两函数图象只有一个交点，那么方程的判别式△=0，由此求得b的值①．
（3）可参照（2）的解法求出当直线y=x+b与C2相切时b的值②，若此直线与C3有两个交点，那么b的取值范围必在①②的范围之内，由此得解．
【解析】
（1）∵抛物线C1：y=x2-2x=（x-1）2-1；
∴顶点坐标A（1，-1）．（1分）
图如右图；（2分）

（2）
把（1）式代入（2）
整理得：x2-3x-b=0；
△=9+4b=0，．（4分）

（3）
把（1）式代入（2）
整理得：x2+x-b=0；
△=1+4b=0，．（6分）
∴当直线y=x+b与图象C3有两个交点时，b的取值范围为：．（7分）