Question

如图，在平面直角坐标系中，A（，0），B（，2）．把矩形OABC逆时针旋转30°得到矩形OA₁B₁C₁，
（1）求B₁点的坐标；
（2）求过点（2，0）且平分矩形OA₁B₁C₁面积的直线l方程；
（3）设（2）中直线l交y轴于点P，直接写出△PC₁O与△PB₁A₁的面积和的值及△POA₁与△PB₁C₁的面积差的值．

Answer

（1）根据题意，可知∠AOA1为旋转角，继而得出∠AOA1=30°，∠B1OA=60°．过点B1作B1E⊥OA于点E，Rt△B1OE中，利用直角三角形的边与角的关系即可求得OE和B1E的长，即可得到点的坐标；
（2）设F为A1C1与OB1的交点即可知道点F的坐标，设直线l的方程为y=kx+b，把已知点代入即可求出直线l的方程．
（3）根据（2），直接计算出各个面积即可解答．
【解析】
（1）由已知可得：，
∴∠BOA=∠B1OA1=30°，OB=OB1=4，
又∵∠AOA1为旋转角，
∴∠AOA1=30°，
∴∠B1OA=60°，
过点B1作B1E⊥OA于点E，
在Rt△B1OE中，∠B1OE=60°，OB1=4，
∴．
∴．（2分）

（2）设F为A1C1与OB1的交点，可求得，
设经过P、E的直线是l，
设直线l的方程为y=kx+b，把点（2，0）、（1，）代入可得：，
解得：，
∴直线l的方程为．（5分）

（3），．（7分）