Question

如图，以直角梯形OBDC的下底OB所在的直线为x轴，以垂直于底边的腰OC所在的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，CD和OB的长是方程x²-5x+4=0的两个根．
（1）试求S_△OCD：S_△ODB的值；
（2）若OD²=CD•OB，试求直线DB的解析式；
（3）在（2）的条件下，线段OD上是否存在一点P，过P做PM∥x轴交y轴于M，交DB于N，过N作NQ∥y轴交x轴于Q，则四边形MNQO的面积等于梯形OBDC面积的一半？若存在，请说明理由，并求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求出程x2-5x+4=0的两根，可知CD=1，OB=4；分别用OC表示出△OCD与△ODB的面积，再求出比值；
（2）OD2=CD•OB即OD=2，过点D作DE⊥OB于E．可分别求出B，D两点的坐标，用待定系数法求出过这两点直线的解析式；
（3）直线OD的解析式为y=x，设P点的坐标（a，b），N点纵坐标为a，代入直线DB的解析式即可求出x的值．
【解析】
（1）由方程x2-5x+4=0解得
x1=1，x2=4，
即CD=1，OB=4；（2分）
S△OCD=CD•OC=OC；
S△ODB=OB•OC=2OC，
∴S△OCD：S△ODB=． （3分）

（2）∵OD2=CD•OB即OD=2．过点D作DE⊥OB于E．
点D（1，），点B（4，0），（4分）
∴设直线DB的解析式为y=kx+b，则有．
解得k=，b=，所求直线DB的解析式为y=x+．   （5分）

（3）存在点P，理由如下：（6分）
由题意，得
直线OD的解析式为y=x，设P点的坐标（a，b），
∴N点纵坐标为a，
∴a=x+．
∴x=4-3a，
∴（4-3a）×a=即12a2-16a+5=0．
∵（-16）2-4×12×5=16＞0，
∴解得a1=，a2=．
∴点P坐标为（，）或（，）．                           （8分）