Question

如图，△ABC中AB=AC，BC=6，点D位BC中点，连接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由．
（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围．

Answer

（1）根据三线合一可得∠ADC=90°∠BAD=∠CAD，根据已知可得：∠DAE=∠CEA=90°，即可求得四边形ADCE是矩形；
（2）平移过程中有两种不同情况：当0≤t＜3时，重叠部分为五边形；当3≤t≤6时，重叠部分为三角形．根据多边形的面积的求解方法即可求得．
【解析】
（1）∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
又∵AE平分∠CAM，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°，
∴∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．

（2）平移过程中有两种不同情况：
①当0≤t＜3时，重叠部分为五边形，
设C′E′与AC交于点P，A′D′与AB交于点Q，
∴E′P=AE′=（3-t）A′Q=A′A=t，
∴S=S矩形A′D′CE′-S△AA′Q-S△AE′P
=3×4-AA′•A′Q-AE′•E′P
=12-t•t-（3-t）•=-+4t+6；

②当3≤t≤6时，重叠部分为三角形，
设AB与C′E′交于点R，
∵C′E′∥AD，
∴△BC′R∽△BDA，
∴==
∵BC′=6-t，
∴C′R=（6-t），
∴S=S△BC′R=BC′•C′R
=（6-t）•（6-t）
=（6-t）2，
∴S=．