Question

如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上的一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA．求证：AP是半圆O的切线．

Answer

因为∠BDA和∠BCA为同弧所对的圆周角，所以相等，又AC为直径，所以∠ABC=90°，即∠ACB+∠BAC=90°，又∠BAP=∠BDA，所以∠BAP+∠BAC=90°，即AP为切线．
【解析】
∠BDA和∠BCA为同弧所对的圆周角，
∴∠BDA=∠BCA．
又AC为直径，
∴∠ABC=90°．
即∠ACB+∠BAC=90°．
又∠BAP=∠BDA，
∴∠BAP+∠BAC=90°．
即AP为切线．