Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

Answer

（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；
（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
【解析】
（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，-2）A点的坐标是（0，-2），
把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-）代入得：，
解得a=，b=-，c=-2，
∴抛物线的解析式为：，
答：抛物线的解析式为：．

（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2-8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②【解析】
假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴当S=时，5t2-8t+4=，得20t2-32t+11=0，
解得t=，t=（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-），
若R点存在，分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB，RQ∥PB，
则R的横坐标为3，R的纵坐标为-，
即R（3，-），
代入，左右两边相等，
∴这时存在R（3，-）满足题意；

（ii）假设R在QB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R（1，-）代入，，
左右不相等，∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述，存点一点R（3，-）满足题意．
则存在，R点的坐标是（3，-）；

（3）如图，M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
理由是：∵MA=MB，若M不为L与DB的交点，则三点B、M、D构成三角形，
∴|MB|-|MD|＜|DB|，
即交点时差为|DB|为最大，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：，
解得：k=，b=-，
∴y=x-，
抛物线的对称轴是x=1，
把x=1代入得：y=-
∴M的坐标为（1，-）；
答：M的坐标为（1，-）．