Question

如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；
②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

Answer

（1）根据题意，得t秒时，点C的横坐标为5-t，纵坐标为0；过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PQ、DQ再求出OQ，从而得解；
（2）①当点A到达点D时，所用的时间是t的最小值，此时DC=OC-OD=5-t-3=t，得到t≥；
当圆C在点D左侧且与ED相切时，为t的最大值．
如图，易得Rt△CDF∽Rt△EDO，有，求解得到t的最大值．
②当△PAB为等腰三角形时，有三种情况：PA=AB，PA=PB，PB=AB．根据勾股定理，求得每种情况的t的值．
【解析】
（1）如图，t秒时，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
则PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=t，DQ=t．
∴C（5-t，0），．

（2）
①当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时，
有，即．
当点C在点D左侧时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，
则由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
则，
解得．
由t，即，解得．
∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为．

②当PA=AB时，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q．
有PA2=PQ2+AQ2=．
∴，
即9t2-72t+80=0，
解得．
当PA=PB时，有PC⊥AB，此时P，C横坐标相等，
∴，
解得t3=5；
当PB=AB时，有
，
∴，
即7t2-8t-80=0，
解得（不合题意，舍去）．
∴当△PAB是等腰三角形时，，或t=4，或t=5，或．
又∵C是从M点向左运动的，故，或t=4，或t=5或．