Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

Answer

（1）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度；
（2）根据∠A=90°得出S△BDE=•BD•AE，再运用函数性质求解即可．
【解析】
（1）由题可知，BD=2x，AD=8-2x，
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴，
其中0＜x≤4；

（2）∵∠A=90°
∴AE是△BDE中BD边上的高，
∴
∴S=×2x×（-x+6）
=-（x2-4x+4）+6
=-（x-2）2+6．
∴当x=2时，S有最大值，且最大值为6．