Question

如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H．
（1）求直线AC所对应的函数关系式；
（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：
①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据直角三角板的直角边长分别为1和2可知：AB=OD=2，OB=CD=1．即A点的坐标是（1，2）；C点的坐标是（2，1）．可根据A、C的坐标用待定系数法求出直线AC的函数解析式．
（2）①M到x轴的距离就是M的纵坐标，而BH的长就是P的横坐标减去OB的长，可先根据直线AC的解析式设出P点的坐标，那么可得出BH的长．根据∠GPH的正切值，可表示出GH的长，也就求出了G点的坐标．然后求点M的纵坐标．可先根据OC所在直线的解析式设出M点的坐标，然后将M点的坐标代入直线PG的解析式中（可根据P，G两点的坐标求得）可得出M纵坐标的表达式，然后同BH的表达式进行比较即可得出M到x轴的距离是否与BH相等．
②根据①我们可得出M、N、G三点的坐标，然后根据阴影部分的面积=△ONH的面积-△OMG的面积．即可得出关于S的函数解析式．然后根据函数的性质即可求出S的最大值以及对应的P的坐标．
【解析】
（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知A，C两点的坐标分别为（1，2），（2，1）．
设直线AC所对应的函数关系式为y=kx+b．
有
解得
∴直线AC所对应的函数关系式为y=-x+3．

（2）①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等．
∵点C的坐标为（2，1），
∴直线OC所对应的函数关系式为y=x．
又∵点P在直线AC上，
∴可设点P的坐标为（a，3-a）．
过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK=h．
∵点M在直线OC上，
∴有M（2h，h）．
∵纸板为平行移动，
故有EF∥OB，即EF∥GH．
又EF⊥PF，∴PH⊥GH．
故Rt△PHG∽Rt△PFE，可得．
故GH=PH=（3-a）．
∴OG=OH-GH=a-（3-a）=（a-1）．
故G点坐标为（（a-1），0）．
设直线PG所对应的函数关系式为y=cx+d，
则有
解得
∴直线PG所对的函数关系式为y=2x+（3-3a）
将点M的坐标代入，可得h=4h+（3-3a）．
解得h=a-1．
而BH=OH-OB=a-1，从而总有h=BH．
②由①知，点M的坐标为（2a-2，a-1），点N的坐标为（a，a）．
S=S△ONH-S△OMG=NH×OH-OG×h=a×a-×（a-1）
=-a2+a-．
当a=时，S有最大值，最大值为．
S取最大值时点P的坐标为．