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如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的三角...

如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
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(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.①证明DM=DN;②在这一过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的;若不发生变化,求出其面积;
(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出写出结论,不用证明.
(1)连接BD,证明△DMB≌△DNC.根据已知,全等条件已具备两个,再证出∠MDB=∠NDC,用ASA证明全等,四边形DMBN的面积不发生变化,因为它的面积始终等于△ABC面积的一半; (2)成立.同样利用(1)中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC; (3)结论仍然成立,方法同(1). 【解析】 (1)①如图1,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC, ∴DB=DC=AD,∠BDC=90°, ∴∠ABD=∠C=45°, ∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°, ∴∠MDB=∠NDC, ∴△BMD≌△CND(ASA), ∴DM=DN; ②四边形DMBN的面积不发生变化; 由①知△BMD≌△CND, ∴S△BMD=S△CND, ∴S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=×=; (2)DM=DN仍然成立; 证明:如图2,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC, ∴DB=DC,∠BDC=90°, ∴∠DCB=∠DBC=45°, ∴∠DBM=∠DCN=135°, ∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°, ∴∠CDN=∠BDM, ∴△BMD≌△CND(ASA), ∴DM=DN. (3)DM=DN.
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考点分析:
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型号AB
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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