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如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B. ...

如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;
(3)连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
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(1)已知抛物线的顶点为A(2,1),设抛物线顶点式,把点O(0,0)代入即可求解析式; (2)依题意得CD∥OB,CD=OB=4,又对称轴x=2,故D点横坐标x=6,代入抛物线解析式可求D点纵坐标,根据对称轴可求满足条件的点D′; (3)根据抛物线对称轴可知AO=AB,△AOB为等腰三角形,要使得△OBP与△OAB相似,则∠POB=∠BOA,A与A′对称,可求直线OP的解析式,与抛物线解析式联立可求P点坐标,检验BP与OB是否相等. 【解析】 (1)由题意可设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+1 ∵抛物线过原点, ∴0=a(0-2)2+1, ∴. 抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1, 即y=-x2+x (2)如图1,当四边形OCDB是平行四边形时,CD=OB, 由0=-(x-2)2+1得x1=0,x2=4, ∴B(4,0),OB=4. 由于对称轴x=2 ∴D点的横坐标为6. 将x=6代入y=-(x-2)2+1,得y=-3, ∴D(6,-3); 根据抛物线的对称性可知, 在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(-2,-3), 当四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1) (3)不存在. 如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB,∠AOB=∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB=∠BOA=∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,-1) ∴直线OP的解析式为y=-x 由-x=-x2+x,得x1=0,x2=6. ∴P(6,-3) 过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE=2,PE=3, ∴PB=≠4. ∴PB≠OB, ∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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