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(1)等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发...

(1)等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D,过P作PE⊥AC于点E.设P点运动时间为t.
①当点P在线段AB上运动时,线段DE的长度是否改变?若不改变,求出DE的值;若改变,请说明理由.
下面给出一种解题的思路,你可以按这一思路解题,也可以选择另外的方法解题.
【解析】
过Q作QF⊥直线AC于点M
∵PE⊥AC于点E,QF⊥直线AC于点M
∴∠AEP=∠F=90°
(下面请你完成余下的解题过程)
②当点P在线段AB的延长线上运动时,(1)中的结论是否还成立?请在图2画出图形并说明理由.
(2)若将(1)中的“腰长为10cm的等腰直角△ABC”改为“边长为a的等边△ABC”时(其余条件不变),则线段DE的长度又如何?(直接写出答案,不需要解题过程)
(3)若将(2)中的“等边△ABC”改为“△ABC”(其余条件不变),请你做出猜想:当△ABC满足______条件时,(2)中的结论仍然成立.(直接写出答案,不需要解题过程)

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(1)①求出AC的值,过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F,根据AP=CQ=t和等腰直角三角形求出AE=PE=QF=CF,根据平行线分线段成比例定理求出DE=DF,即可求出答案;②根据AAS证△APE和△CFQ全等,推出CF=AE,推出AC=EF即可; (2)与①证法类似求出DE=DF,AE=CF=EF,推出EF=AC,代入求出即可; (3)根据①的结论求出只要∠A=∠ACB时,就能推出AE=CF,即可求出答案. 【解析】 (1)①线段DE的长度不变, 由勾股定理得:AC==10, 过Q作QF⊥AC交AC的延长线于F, ∵∠QCF=∠ACB=∠A=∠EPA=45°,AP=CQ=t, ∴AE=PE=QF=CF, ∵QF⊥AC,PE⊥AC, ∴QF∥PE, ∴=, ∴DE=DF=EF=(EC+CF)=(EC+AE)=AC=5. ②成立, 理由是:在△AEP和△CFQ中 , ∴△AEP≌△CFQ, ∴AE=CF, ∴AC=AE+CE=CF+CE=EF, 由①知:DE=DF=EF, ∴DE=AC, ∴成立. (2)与①证法类似:知DE=DF,EF=AC, ∴DE=a. (3)当∠A=∠ACB时, ∵∠DCF=∠ACB=∠A, 在△AEP和△CFQ中 , ∴△AEP≌△CFQ, ∴AE=CF, ∴AE+EC=CF+EC, 即AC=EF, 由①知ED=DF, ∴DE=AC, ∴故答案为:∠A=∠ACB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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