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已知:如图,在△ABC中,D为AB边上一点,∠A=36°,AC=BC,AC2=A...

已知:如图,在△ABC中,D为AB边上一点,∠A=36°,AC=BC,AC2=AB•AD.
(1)试说明:△ADC和△BDC都是等腰三角形;(2)若AB=1,求AC的值;
(3)试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形.(标明各角的度数)

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(1)根据等腰三角形的判断(等角对等边),通过证明△ABC∽△CAD得出对应角相等得出△ADC和△BDC都是等腰三角形;(2)由(1)知BD=BC=AC,及AC2=AB•AD,可以求AC的值; (3)等腰梯形的性质,结合等腰三角形的判定,上底=腰,底角=72°的等腰梯形有8个等腰三角形. 【解析】 (1)在△ABC中,AC=BC, ∴∠B=∠A=36°,∠ACB=108° 在△ABC与△CAD中,∠A=∠B=36° ∵AC2=AB•AD ∴ ∴△ABC∽△CAD ∴∠ACD=∠A=36° ∴∠CDB=72°,∠DCB=108°-36°=72° ∴△ADC和△BDC都是等腰三角形 (2)设AC=x,则x2=1×(1-x) 即x2+x-1=0, ∴x=, ∴AC=; (3)说明:按照画出的梯形中,有4个,6个和8个等腰三角形三种情况分别给分 ①有4个等腰三角形得(1); ②有6个等腰三角形,得(2); ③有8个等腰三角形,得(3).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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