Question

已知△ABC和△ADE分别是以AB、AE为底的等腰直角三角形，以CE，CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH．
（1）如图1，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为______；CH与CD的数量关系是______

Answer

（1）连DH，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，四边形CEHB为平行四边形，得到∠AED=45°，∠AEH=∠ACB=90°，则∠DEH=45°，易证得△DAC≌△DEH，则DH=DC，∠ADC=∠EDH，得到∠ADE=∠CDH=90°，所以△DHC为等腰直角三角形，得到CH=DC．
（2）由旋转得到∠DEA=45°，则∠DEA=45°，DE∥AC，得到∠DEH=90°，易得Rt△ADC≌Rt△EDH，所以DC=DH，即△DHC为等腰直角三角形，得到CH=CD．
（3）由旋转得到∠DAC=45°-α，而∠DEH=90°-45°-α=45°-α，则∠DAC=∠DEH，易证△DAC≌△DEH，得到DC=DH，∠ADC=∠EDH，所以∠ADE=∠CDH=90°，得到HC=CD．
【解析】
（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，四边形CEHB为平行四边形，
∴∠AED=45°，∠AEH=∠ACB=90°，
∴∠DEH=45°，连DH，如图1，
∵∠DEH=90°-∠DEA=45°，
∴∠A=∠DEH，
∵AD=ED，AC=CB=EH，
∴△DAC≌△DEH，
∴DH=DC，∠ADC=∠EDH，
∴∠ADE=∠CDH=90°，
∴△DHC为等腰直角三角形，
∴CH=DC．

（2）∵图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图2，
∴∠DEA=45°，
∴DE∥AC，
∵BC∥HE，∠ACB=90°，
∴∠DEH=90°，
又∵DA=DE，AC=BC=EH，
∴Rt△ADC≌Rt△EDH，
∴DC=DH，即△DHC为等腰直角三角形，
∴CH=CD．

（3）CH=CD；
连DH，如图3，
∵图1中的△ADE绕A点顺时针旋转α（O°＜α＜45°）得图3，
∴∠DAC=45°-α，
∵CB∥HE，
∴∠AME=∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，∠ADE=∠AME=90°，
∴∠DEH=∠DAM=45°-α，
∵∠DEH=90°-45°-α=45°-α，
∴∠DAC=∠DEH，
∵DA=ED，CA=CB=EH，
∴△DAC≌△DEH，
∴DC=DH，∠ADC=∠EDH，
∴∠ADE=∠CDH=90°，
∴HC=CD．
故答案为：（1）45°，CH=CD．