Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．
（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是______．当t=3时，正方形EFGH的边长是______．
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

Answer

（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；
（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（3）根据t的取值范围分别进行分析得出最值，即可得出面积最大值．
【解析】
（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的边长是2；
当t=3时，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的边长是4．
故答案为：2，4；

（2）当正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状为正方形时，0＜t≤，
S与t的函数关系式是S=2t×2t=4t2；
当t=时EFGM是梯形，
故当＜t≤时，
S与t的函数关系式是：
S=4t2-[2t-（2-t）]×[2t-（2-t）]，
=-t2+t-；
当＜t≤2时；
S与t的函数关系式是：
S=（t+2）×（t+2）-×（2-t）（2-t），
=3t；

（3）由（2）知：当0＜t≤时，
S与t的函数关系式是S=2t×2t=4t2=；
当＜t≤时，
S与t的函数关系式是：
S=-t2+t-=；
当＜t≤2时；
S与t的函数关系式是：
S=3t=6；
观察正方形与三角形的重叠面积随t值变化情况，容易得到只有当≤t≤时，S才有可能取到最大值．
左上角三角形面积为：t2-t+，
右上角三角形面积为：t2-t+，
∵由题（1）知，当t＞2时，正方形边长保持为4，
∴S=S正方形-S左上角三角形-S右上角三角形
=-t2+t-，
=-（t-）2+
∴综上所述，当t=时S有最大值，为．