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已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C...

已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(-3,0),C(1,0),tan∠BAC=manfen5.com 满分网
(1)求过点A,B的直线的函数表达式;
(2)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.

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(1)设过点A,B的直线的函数表达式为y=kx+b,利用待定系数法可解得,,即直线AB的函数表达式为; (2)过点B作BD⊥AB,交x轴于点D,D点为所求.又tan∠ADB=tan∠ABC=,CD=BC÷tan∠ADB=3÷,可求OD=OC+CD=,所以D(,0); (3)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=5,当PQ∥BD时,△APQ∽△ABD,解得;当PQ⊥AD时,△APQ∽△ADB,则解得. 【解析】 (1)∵点A(-3,0),C(1,0), ∴AC=4,BC=tan∠BAC×AC=×4=3,B点坐标为(1,3), 设过点A,B的直线的函数表达式为y=kx+b, 由得,, ∴直线AB的函数表达式为 (2)如图,过点B作BD⊥AB,交x轴于点D, 在Rt△ABC和Rt△ADB中, ∵∠BAC=∠DAB, ∴Rt△ABC∽Rt△ADB, ∴D点为所求, 又tan∠ADB=tan∠ABC=, ∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷, ∴OD=OC+CD=,∴D(,0); (3)这样的m存在. 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=5, 如图1, 当PQ∥BD时,△APQ∽△ABD,则, 解得, 如图2, 当PQ⊥AD时,△APQ∽△ADB, 则, 解得.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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