Question

如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、PB、P C，过P点分别做三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF=    ；阴影部分的面积为    ．

Answer

（1）求出等边三角形的高，再根据△ABC的面积等于△PAB、△PBC、△PAC三个三角形面积的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高；
（2）因为点P是三角形内任意一点，所以当点P为三角形的中心时，阴影部分的面积等于三角形面积的一半，求出△ABC的面积，即可得到阴影部分的面积．
【解析】
（1）∵正三角形的边长为2，
∴高为2×sin60°=，
∴S△ABC=×2×=，
∵PD、PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，
∴S△PBC=BC•PD，S△PAC=AC•PE，S△PAB=AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S△PBC+S△PAC+S△PAB=BC•PD+AC•PE+AB•PF=×2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF，
∵S△ABC=S△PBC+S△PAC+S△PAB，
∴PD+PE+PF=；

（2）∵点P是三角形内任意一点，
∴当点P是△ABC的中心时，阴影部分的面积等于△ABC面积的一半，
即阴影部分的面积为S△ABC=．
故答案为：，．