Question

如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，求证：MN²=PN•QN．

Answer

延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图所示，由MN垂直于AB，得到一对直角相等，再由已知的一对角相等，得到∠1=∠2，由MN垂直于AB，利用垂径定理得到A为弧DM的中点，再由一对对顶角相等，得到∠1=∠ANC，可得出P与C关于AB对称，进而得到弧PA=弧AC，利用等式的性质得到弧PD=弧MC，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由已知的一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形PMN与三角形MNQ相似，由相似得比例，即可得证．
【解析】
延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图所示，
∵MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
∴∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直径，MN⊥AB，
∴=，
∵∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
∴P，C关于AB对称，
∴=，=，
∴∠Q=∠PMN，
又∵∠MNP=∠MNQ，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN2=PN•QN．